Теория множеств свернула не туда

Читая различную литературу каждый раз подмечаю интересную особенность: если автор описывая что-то начинает вдруг использовать эпитеты типа "гениальное", "эпохальное" и тп, то это значит, что читателю пытаются скормить очередную чушь и упомянутые эпитеты призваны усилить аргументацию...

Приведу пример из "Что такое математика?" от Куранта, Роббинса под редакцией Колмогорова:

• Тому же Кантору принадлежит открытие исключительной важности: множество всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел несчетно.
  

О других участниках там же идёт повествование в более сухом тоне, местами даже с элементами разоблачения:

• Евклид, громкая слава которого объясняется той частью его «Начал», которая посвящена основам геометрии (изучаемым в школе), по-видимому, сделал оригинальные открытия в области теории чисел, тогда как его геометрия в значительной степени представляет собой компиляцию ранее полученных результатов.
  

Ну да вернёмся к описываемому гиперболическими эпитетами "открытию"... суть его заключается в том, что Кантор показывает несчётность континуума весьма "остроумным" способом. я бы назвал его скорее софистической спекуляцией понятием "бесконечность".

Для начала хотелось бы напомнить классическое доказательство бесконечности ряда натуральных чисел:

Предположим, что мы нашли конец, значит среди всех чисел можно найти максимальное, прибавить к нему 1 и получить новое натуральное число, которое находится за установленной нами границей. далее формулируем индукционный переход: для любого конечного множества натуральных чисел можно найти натуральное число, которое не будет входить в это множество.
и делаем вывод, что множество натуральных чисел не является конечным или, что то же самое, является бесконечным.

Теперь перейдём собственно к Кантору... суть его "доказательства" сводится к следующему: пусть мы пересчитали все вещественные числа, тогда, мы можем выписать их в ряд:
0: 0.abc...
1: 0.def...
2: 0.ghi...
...
, а потом используя диагональный метод составить новое число, где первая цифра не равна первой цифре первого числа, вторая - второй второго и так далее.
Далее мы делаем финт ушами - предельный переход - и получаем число, которого нет в нашем списке, из чего делаем вывад о том, что множество вещественных чисел мощнее множества натуральных. Подумать только - одна бесконечность больше другой бесконечности на целый 1 элемент! ^_^ (Всем, кто не согласен с моими рассуждениями, советую крепко задуматься над последним предложением.)

Что мешает нам полученное число тут же добавить, например, в начало списка? А ничего! (надеюсь все согласны, что "бесконечность+1=бесконечность"?) Да, после этого можно повторить процедуру и найти ещё одно число. Ничего не напоминает? Та же самая схема, что и в случае доказательства бесконечности множества натуральных чисел, но вот вывод из этого Кантором сделан неверный. Фактически он доказывает бесконечность множества вещественных чисел, ибо диагональный метод всего-лишь позволяет по конечному множеству вещественных чисел найти вещественное число, которое в это множество не входит (вспоминаем индукционный переход в доказательстве бесконечности ряда натуральных чисел). На бесконечном же множестве диагональный метод будет бесконечно искать, но так и не найдёт неучтённое число. Точно также мы можем прибавлять единицу бесконечное число раз в поиске последнего натурального числа, но так никогла его и не найти.